“Majmun” – fizikalni pristop
Posted by mitja in fizika, matematika, zanimivo on July 28th, 2010
Ko sem se pred kratkim sprehajal po rivieri Malega Lošinja v sklopu svojega poletnega dopusta, mi je v oko padla zanimiva atrakcija za otroke: Nekakšen hibrid med trampolinom in milejšo verzijo bungeeja. Stvar se mi je zdela zabavna, odšel sem do upravljalca in ga vprašal, kakšne so možnosti, da skakajoči zadene enega od stranskih drogov. “Pa jako težko. Osim ako skačeš ko majmun uvijek u jednu stranu.” Mojemu dekletu je bil izraz smešen in tako sva tvor krstila “majmun”.
Seveda me je kot vsakega pravega fizika – ki je užival v analitični mehaniki – mikalo raziskati fazni prostor majmuna. S kozarcem Vranca v roki sem se punci širokoustil, da je problem dokaj enostaven in bom gibalne enačbe rešil še naslednji dan, kar na papirju in brez kakršnihkoli numeričnih pripomočkov. Kako sem se uštel! Na začetku sem imel grozne probleme že z izbiro koordinatenega sistema. V kartezičnem sistemu je bil izraz za kinetično energijo preprost, medtem ko je bil zapis potencialov obupno zamotan. Ponižan po tem udarcem sem problem omejil samo na 2 dimenziji, zanemaril trampolin in iskal pot prek dobre izbire generaliziranih koordinat. Na koncu sem se domislil spodnje skice:
Z zeleno so označene znane količine, torej, konstante, ki jih predhodno izberemo, z rdečo pa spremenljivke. Položaj mase “m” lahko ob vsakem trenutku povem s polarno notacijo – torej dolžino prve vzmeti “l” in kotom, ki ga vzmet oklepa s pokončnim nosilcem “φ”. Za obe vzmeti sem vzel isti koeficient raztezka “k”, “l0” pa je dolžina vzmeti v neraztegnjenem stanju in je enaka polovičnem razmaku med nosilcema. Količina “h”, torej dolžina druge vzmeti je enolično določena s kosinusnim izrekom. Po izvedbi Euler-Lagrangejevih enačb za obe koordinati dobimo sklopljeni diferencialni enačbi:
Začetna predpostavka o lahki in analitični rešitvi očitno ni bila pravilna. S pomočjo Mathematice, ki seveda prav tako ni našla analitične rešitve, sem na koncu numerično rešil sistem in dobil nekaj lepih in zanimivih faznih portretov. Da pa se prepričamo o pravilnosti rešitve, si poglejmo namišljen primer, kjer “izklopimo” gravitacijsko polje. Nosilca vzmeti sta 10 metrov narazen, maso 70 kg na začetku obesimo pod simetralo nosilcev, tako, da je kot φ = 40 stopinj = 0.69 radianov. Koeficient vzmeti je 100 N/m. Dobimo sledeč fazni portret:
ki se s časom seveda ne spreminja, saj masa niha naravnost “gor in dol” brez kakršnegakoli upora in popolnoma simetrično – kot je tudi pričakovati . (Spodnji portret prikazuje isto stvar, le da so enote logaritmirane (oprostite mi – očitno je v Mathematici nemogoče nastavit logaritemski ParametricPlot. Vnaprej bodo vse slike narisane na tak način zaradi estetskih razlogov)). Nihanje pri teh pogojih je tudi analitično rešljivo (integrabilno).
Zdaj, ko smo se prepričali, da so rešitve fizikalno smiselne, si poglejmo nekaj faznih portretov gibanja pri navedenih začetnih pogojih:
m=70, k=1000, g=9.81, d=10,
l(0)=7.77, l’(0)=0, Φ(0)=0.59, Φ’(0)=0. (t=30)
m=70, k=1000, g=9.81, d=10,
l(0)=7.77, l’(0)=10, Φ(0)=0.59, Φ’(0)=0. (t=30)
m=70, k=1000, g=9.81, d=10,
l(0)=7.77, l’(0)=10, Φ(0)=0.59, Φ’(0)=2. (t=30)
m=5, k=100, g=9.81, d=5,
l(0)=7, l’(0)=3, Φ(0)=0.49, Φ’(0)=1. (t=30)
m=70, k=100, g=9.81, d=10,
l(0)=5, l’(0)=5, Φ(0)=0.69, Φ’(0)=5. (t=40)
m=10, k=1000, g=9.81, d=10,
l(0)=7.7, l’(0)=0, Φ(0)=1, Φ’(0)=0. (t=40)
m=10, k=1000, g=2, d=10,
l(0)=8, l’(0)=1, Φ(0)=1, Φ’(0)=3. (t=40)
…Pa še bi lahko našteval. Začetnih pogojev in parametrov je takorekoč neskončno. Še en dokaz, kako povsem preproste stvari lahko manifestirajo nesluteno matematično lepoto.
Klepetalnica na FMF reviji je odprta
Posted by janez in Uncategorized on July 5th, 2010
Odprli smo FMF revija klepetalnico. Vidna je v desnem spodnjem kotu internetne strani. Prijavite se z uporabniškim imenom in e-mailom ter sodelujte v debati.
Klepetalnica ponuja veliko mero prilagodljivosti. Sami lahko predlagate temo. Svetujemo pa da se držite teme posameznega pogovora, da ne bo zmede.
Uredništvo FMFrevije
Zakaj sinus? Zakaj algebra?
Posted by Ana in matematika, zanimivo on June 30th, 2010
Mnogo besed tehnične terminologije izvira bodisi iz grščine, bodisi iz latinščine ali jezikov, ki so se iz nje razvili. So v vsakodnevni ‘tehnični’ uporabi, vendar jih uporabljamo, ne da bi vedeli, kaj dejansko pomenijo. Kaj se skriva za besedo diagonala ali pa recimo algebra, matrika? Besede skrivajo več kot bi upali pričakovati …
Sinus: Od vseh ima sinus še najbolj zanimivo zgodovino, saj je posledica napačnega prevoda! Etimološko izvira iz besede ardha-jya (polovica tetive (oz. strune) v sanskrtu). Arabci so vzeli besedo jya oz. jiva in jo fonetično priredili v besedo jiba (beseda kot taka v tem jeziku nima pomena), kar se je po arabski praksi izpuščanja samoglasnikov zapisalo kot jb. Kasnejši pisci so tako, ne vedoč, da jb nima pravega pomena, besedo zapisali kot jaib, kar pomeni zaliv oz. guba. Sredi 12. stoletja je Gherardo iz Kremone zato to besedo v latinščino dobesedno prevedel kot sinus – zaliv. Če bi prevod ohranil prvotni pomen, bi mogoče tej trigonometrični funkciji danes rekli chordus. (vir1 in slovenski vir2)
Če že govorimo o trigonometričnih funkcijah, lahko omenimo še tangens, ki v latinščini pomeni dotikati se (kako prikladno), medtem ko sekanta (uganili ste) seka krog (seveda bi bilo zmotno misliti, da beseda izvira iz slovenščine, saj imata sekanta in sekati isti koren – v latinščini pomeni secans sekati).
Algebra: Vsi poznamo Pitagoro, Cauchya ali Leibniza, ampak kdo pozna matematika z imenom Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi? Redkokdo, kar je škoda, saj je napisal knjigo o reševanju enačb, Hidab al-jabr wal-muqubala, okoli leta 800 n.št. Besedi jabr in muqubala sta označevali dve osnovni operaciji s katerima rešujemo enačbe - jabr je pomenilo prenesti odštete člene na drugo stran, muqubalah pa pokrajšati člene na obeh straneh. Sčasoma se je opustila raba besede muqubalah in ta vrsta matematike je postala znana kot algebra (al-jabr).
Zanimivo je, da je beseda al-jabr v Evropo zašla tudi v nematematičnem smislu – algebrista je postal naziv za kiropraktika oz. osteopata, ravnalca kosti. V starih časih so se tako imenovali tudi brivci, saj so kot obstransko dejavnost izvajali tudi puščanje krvi in ’ravnanje kosti’, od tu izhaja tudi rdeče-bela vrteča vijačnica na znaku pred brivnicami. (vir)
In če omenimo še ‘drugo vejo’ – analizo – ta izvira iz besede analusis – razgrajevati, razčlenjevati (a v angleščini jo pogosteje srečamo kot calculus).
Nabla: Če citiram profesorja Saksido na enem od predavanj: “Ali slučajno veste, zakaj se temu reče nabla?” *tišina? “Tudi jaz ne vem, zato sprašujem.” Nabla, Zlatko Zahovič elektromagnetnega polja (metafora je last Denisa Arčona), glavna akterka vektorske analize, je očitno ljudem velika uganka. Le redkokdo ve, da v resnici izhaja iz starogrške besede za hebrejsko harfo, ki je posedovala podobno obliko, kot jo dandanes simbol nabla (na začetku je bil simbol prekucnjen na bok). Nabli se včasih reče tudi atled, kar je posledica dejstva, da izgleda kot določena narobe obrnjena grška črka, v grščini se pa simbolu dejansko reče ανάδελτα (anádelta) oz. na glavo obrnjena delta.
Diferencial: Srečni smo lahko, da je v boju med Newtonom in Leibnizom glede poimenovanja zmagal slednji (četudi je zasluge za odkritje požel jabolkoljub), saj je imel angleški genij za odvode zveznih (oz. fluentnih, tekočih) funkcij, ki jih je označeval s piko nad simbolom, pripravljeno ime fluxions. Leibnizovi diferenciali (iz latinske differentia, razlika) so nam danes mnogo bolj poznani, naj pa omenim še, da je nemški matematik rad operiral s tako imenovanimi infinitezimalami (očitno ime za neskončno majhne stvari), ki pa so jim ugledni matematiki tistega časa radi rekli duhovi preminulih količin (ghosts of departed quantities).
+ še par drugih besed za dodatek
Diagonala – iz grške diagonios (dia – počez oz. skozi, gonia - kot), prešla v latinščino kot diagonus (poševna črta)
Skalar – iz angleškega scale (obseg števil, skala), ki izvira iz latinske besede za lestev – scala – prvič uporabljena šele leta 1846, ko je Hamilton opisoval realni del kvaterniona (bolj kompleksne stvari od kompleksnih števil)
Vektor – nosilec (iz latinskega vehere) in očiten vnos nemščine v matematiko – eigenvector in eigenvalue za lastna vektor in vrednost
Tenzor – iz latinskega tensus, mehanska napetost, tenzija
Matrika – iz latinske matrix, ki pomeni maternica, kar pa izvira iz besede mater, ki pomeni, glej glej, mati
Ana
S stripom je dan lepši
Učenje je naporno, izpiti so težki, dnevi prekratki, začetek učenja prepozen, vreme nagaja, koncentracija je pa tako ali tako v nekakšnem minimumu. Vzemite si par minutk časa in preletite ‘najnovejše’ stripe, mogoče vam dajo nov zagon za učenje.
Potem, ko si enkrat velik in pameten, vidiš, da si vse analitične stvari, ki so zate pomembne, oddelal večinoma do konca faksa.
Za pravilno matematično higieno priporočamo vsaj dvajset minut telovadbe izpeljevanja na dan.
Še en ‘and then a miracle occurs’ trenutek v nastajanju.
Pojavlja se zlasti od osmih do dvanajstih zjutraj in od pol enih do petih popoldne, med vajami, predavanji in seminarji, ne ločuje med spoloma in nastopi še hitreje, če je prisoten projektor, ki utripa z 20Hz.
Če bi bili pred tablo kakšni mali kitajski geniji, bi odgovor dobili v 0,4s, rešitev naloge pa eno sekundo kasneje.
Dan brisače na FMF dva nič ena nič
Posted by Ana in dogodki na FMF, zanimivo on May 28th, 2010
25.5 ni poznan le kot dan mladosti, povsod po svetu na ta dan praznujejo tudi Towel day (dan brisače). Tradicionalno nošenje zagotovo najbolj uporabne stvari v vesolju se je začelo leta 2001, ko so se ob prerani smrti Douglasa Adamsa, avtorja Štoparskega vodnika po galaksiji, navdušenci odločili, da bodo njemu v spomin vsako leto štirinajst dni po njegovi smrti praznovali ta poseben dan.
Brisačonosci na FMF
Ampak zakaj ravno brisača? Odgovor poda kar knjiga sama:
Štoparski vodnik po Galaksiji ve o brisačah povedati kar dosti stvari: Brisača, pravi, je takole približno naj – naj najkoristnejša stvar, ki si jo medzvezdni popotnik lahko omisli. Po eni plati ima veliko praktično vrednost – lahko jo ovije okrog sebe, da ga greje, ko prečka mrzle lune Bete Jaglana; na lesketajočih se plažah iz marmornega peska na Santraginusu V se lahko uleže nanjo in vdihava opojne morske hlape; na njej lahko spi pod zvezdarni, ki sijejo tako žareče rdeče na puščavskem Kakrafoonu; lahko jo razpne kot jadro na majhnem splavu in se odpelje po počasni težki reki Moth; mokro lahko uporabi kot orožje v boju z golimi rokami; lahko si jo ovije okrog glave, da se zaščiti pred škodljivimi izparinami ali da se obrani pogleda traalskega hroščatega krvoloka (neznansko neumna žival: če ga ne morete videti, sklepa, da tudi on ne vidi vas – zabit ko štor, ampak zelo zelo krvoločen); z njo lahko maha v stiski, da prikliče pomoč, in seveda se z njo lahko tudi obriše, če je še vedno dovolj snažna. Še mnogo pomembnejša je psihološka vrednost brisače. Je že tako, da vsak strag (strag: ne-popotnik), brž ko pri štoparju opazi brisačo, samodejno privzame, da poseduje štopar tudi zobno krtačko, flanelasto otiračo za obraz, milo, pločevinko keksov, čutarico, kompas, zemljevid, klobčič vrvice, razpršilec proti obadom, opremo za dež, vesoljski skafander itd itd. Še več, taisti strag bo tudi z veseljem posodil štoparju katerokoli od teh ali nadaljnjega ducata drugih stvari, ki jih je štopar po nesreči “izgubil”. Strag si namreč misli, da je vsakdo, ki je prepotoval Galaksijo podolgem in počez, se prebil skozi njene temačne kotičke, vzdržal v strahotno neenaki borbi s sovražnimi silami in jih končno tudi premagal, pri vsem tem pa še vedno ve, kje ima brisačo, očitno človek, s katerim je treba računati. Odtod tudi izraz, ki se je ustalil v štoparskem žargonu, kot na primer v zvezi “Hej, ti gnaš tega hupi Forda Prefecta? Tapravi frud, ve, kje ima brisačo.” (Gnaš, gnajti: poznati, vedeti za, srečati, spati z; hupi: kul tip; frud: res blazno kul tip.) (Štoparski vodnik po galaksiji, prevedel Alojz Kodre)
Na faksu je bilo mogoče videti mnogo ljubiteljev te znanstvenofanstastične knjige (ali mogoče brisač nasploh), kako so se oviti v mehko blago (oziroma z brisačo vrženo čez ramo) sprehajali po hodnikih.
Še več ljudi! Še več brisač!
Letos pa je bilo pripravljeno tudi presenečenje. Z dovoljenjem dekana smo za slabega pol dneva zastavo, ki visi pred vhodom v fakulteto, zamenjali s pravo brisačo, s črno številko 42 na rdečem ozadju, ki je bila tako par ur deležna marsikatere dvignjene obrvi ali nasmeška. Slovesno dviganje in spuščanje zastave/brisače je bilo zabeleženo tudi na digitalnem filmu, posnetek se bo tako mogoče pojavil na tej strani, kdo bi vedel.
Levo: pri izdelavi smo za pomoč zaprosili tudi hišnika. Desno: še zadnja priprava številk
Slavnostno dvigovanje brisače. Manjkala je mogoče le še svečana himna.
A zakaj je na brisači pisalo ravno 42? Če ste brali Štoparja ali pa vsaj FMF revijo, odgovor zagotovo poznate. Za tiste nevedne - to je odgovor na vprašanje o življenju, vesolju in sploh vsem (dejansko vprašanje pa še vedno ostaja ovito v tančice skrivnosti). Tisti bolj pozorni so na dan brisače lahko 42 zapazili tudi na steklenih šipah predavalnic v drugem nadstropju, na stropu v učilnici F5 ter na asfaltu pred faksom, napisanih s kredo. Če se jih je kdo spravil prešteti, je prav možno, da bi jih naštel prav 42 …
Ana
Stripi na spletu za krajšanje časa
Splet je poln takoimenovanih webcomicov, stripov objavljenih na spletu in ni presenetljivo, da se najde tudi kakšen matematično/znanstveno obarvan, kot nalašč za tipičnega FMF-jevca. Sledi spisek stripov, na katere sem naletela med zapravljanjem časa na internetu in upam, da bodo zadovoljili FMF-jevca v vsakem od vas.
xkcd - Malo je mafijcev, ki še niso slišali za ta strip z neizgovorljivim imenom, ki sam zase pravi, da je spletni strip romance, sarkazma, matematike in jezika (nekateri so ga opisali celo kot: Imamo graf, na osi x je seks, na osi y računalnik). Če vam je všeč znanost, geekovska romanca, računalništvo in nanašanje na internetno pop kulturo, je to pravi strip za vas. (del stripa predstavlja tudi takoimenovani alt-text - enostavno premaknite kurzor čez sliko in pojavil se bo dodatek k stripu)
Comic JK - Na kratko: xkcd wannabe, uporablja precej podoben stil in je poln znanstvenih besednih iger. Objavlja rahlo pogosteje kot zgornji, kar se lahko pokaže kot plus za novih-stripov-željnega geeka.
Levi-Civita
Italijanski matematik Tullio Levi-Civita je bil rojen leta 1873 v Padovi in tako kot večina slavnih znanstvenikov 20. stoletja je bil tudi on židovskega rodu. Diplomiral je leta 1894 na matematični fakulteti univerze v Padovi.
Poklicno se je ukvarjal predvsem s tenzorsko analizo in leta 1900 objavil delo “Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications”, iz katerega je znanje črpal Albert Einstein pri matematični formulaciji svoje splošne teorije relativnosti. S kolegom Albertom sta sodelovala tudi kasneje pri razvoju teorije gravitacije, s svojim delom pa je prispeval tudi k Diracovim enačbam v kvantni mehaniki.
Fizikom je Levi-Civita znan predvsem po svojem simbolu ε. Dejansko je to tenzor tretjega ranga, v katerem nastopajo na prebrisan način razporejene vrednosti -1, 0 in 1. Poleg tega, da je tenzor izjemno uporaben, skriva še eno zanimivo lastnost. Če ga narišemo v trodimezionalni reprezentaciji in s črtami v dva trikotnika povežemo vrednosti 1 ter -1, opazimo zanimiv vzorec, ki silno spominja na Davidovo zvezdo, znan judovski simbol. Ni jasno, ali se je zvezda tam znašla namenoma ali po naključju, vsekakor pa nič ne pokvari uporabe Levi-Civitejevega tenzorja, marveč jo naredi celo bolj privlačno in vznemirljivo.
Ambrož
MacGyver 2.0, 2. del
Končno so tu fotografije s tekmovanja MacGyver 2.0, na katerem je mešana fizikalno-geodetska skupina Made in Slovenija dosegla izvrstno 2. mesto. Več o tekmovanju si lahko preberete v predprejšnjem članku.
Ekipe na delu
Na začetku je bil palični mešalnik Bosch ...
Izdelava pogonskega mehanizma
Tudi Ambrož je pomagal pri delu
Mehanizem postaja vse večji in grši
Čakanje na predstavitev naprave ...
Naprava v akciji
Naš stroj, Made in Slovenija
Za konec smo pa še zmagali in dobili pokal. Itak.
http://picasaweb.google.com/blaz.frlic/Macgyver20#
in
http://picasaweb.google.si/mate.stare/Macgyver20#
Ambrož
www.profesorji.net
Na spletni strani www.profesorji.net poteka ocenjevanje profesorjev Univerze v Ljubljani. Na voljo je tudi seznam profesorjev iz FMF-ja. Uredništvo FMF revije poziva k čim večji udeležbi pri glasovanju. Rezultati znajo biti prav zanimivi.
Ana in Janez
Tekmovanje MacGyver 2.0
Združenje BEST (Board of European Students of Technology) že dolga leta povezuje in združuje študente tehničnih in naravoslovnih fakultet s podjetji po vsej Evropi. Ena izmed njihovih dejavnosti je tudi organizacija posebnih tekmovanj, kjer se študentje lahko pomerijo v inženirskih spretnostih.
24. in 25. marca letos je tudi slovensko društvo BEST organiziralo tovrstno tekmovanje z zelo sugestivnim imenom MacGyver 2.0. Prvo tekmovanje MacGyver se je pri nas zgodilo oktobra lani in zaradi velikega interesa so se organizatorji odločili, da dogodek ponovijo v precej razširjeni izvedbi. V ta namen so privabili tudi sponzorje iz gospodarstva, glavna med njimi sta bili podjetji BSH in Lafarge.
Tekmovanje je potekalo v dveh sklopih, imenovanih Team design (oziroma Načrtovanje v skupini) in Case study (po naše Študija primera). Prvi dan je potekalo Načrtovanje v skupini, kjer morajo skupine 4 tekmovalcev v omejenem času in z omejenim materialom in orodjem zgraditi inovativen pripomoček, napravo ali konstrukcijo, ki jo izbere organizator. Skratka, zelo podobno dogodivščinam Agnusa MacGyverja, ki zna iz vsake stvari narediti nekaj drugega.
Drugi del tekmovanja, Študija primera, je bolj teoretično naravnan. Zahteva rešitev nekega namišljenega ali realnega logističnega problema podjetja, na primer kako čim bolj učinkovito izrabiti neuporabljene površine ali kako najhitreje in najceneje prevažati cement z omejenim številom transportnih vozil. Nekoliko manj MacGyverjevsko, pa klub temu razburljivo in zanimivo. Seveda je potrebno končne izdelke primerno predstaviti, da se prikupijo morebitnim kupcem ali uporabnikom.
Kljub temu, da je tekmovanje, predvsem Načrtovanje v skupini, pisano na kožo študentom tehničnih fakultet, smo se ga udeležili tudi študentje fizike. Po kratkem uvodnem predavanju o društvu BEST in sponzorskih podjetjih je 10 prijavljenih skupin dobilo material ter orodje in delo se je lahko začelo. Ker se sponzorsko podjetje ukvarja z izdelavo gospodinjskih pripomočkov, je bila temu primerno zastavljena tudi naloga: izdelati napravo, ki dozira jabolka v Boschev mixer za sadje, zapre pokrov, napravo vklopi, po primernem času izklopi ter vsebino mixerja iztrese v posodo. Zaželjeno je bilo, da je naprava čim bolj avtomatska, čista, zanesljiva in učinkovita, poleg tega pa naj bi bilo njeno delovanje čim bolj ponovljivo brez posebnih priprav na ponovni zagon. Kot srce in pogon naprave je služil palični mešalnik znamke Bosch. V osmih urah dela je iz lesa, stiropora, iverke, žic in nepogrešljivega lepilnega traku zraslo 10 unikatnih monstrumov, ki so nekateri bolje, drugi slabše, prestali predstavitev in preizkus pred komisijo.
Sledila je težko pričakovana razglasitev rezultatov, predvsem 1. mesta, ki je zmagovalno ekipo popeljalo na srednjeevropsko inženirsko BEST tekmovanje v Brno na Češko. Gašper Štebe, Janez Turk, Klemen Zelič in Ambrož Kregar, člani mešane fizikalno-geodetske skupine , imenovane Made in Slovenija, smo za svoj analogno programabilni mikser prejeli odlično drugo mesto, druga skupina fizikov, Gaussovi paketeki, pa je prejela pohvalo za sodelovanje. Čestitamo!
2. uvščena ekipa
Ambrož