Archive for category fizika
O končnih hitrostih avtomobilov
Posted by janez in avtomobili, fizika, zanimivo on September 3rd, 2010
Vsak avtomobil ima končno hitrost. V tem prispevku je obravnavana njena odvisnost od največje moči avtomobilskega motorja. Predstavljen je tudi izračun koeficienta zračnega upora.
Za tipično hitrost in dimenzijo avtomobila je Reynoldsovo število veliko. Torej velja kvadratni zakon zračnega upora:
Moč motorja lahko zapišemo kot znano zvezo:
Pospešek avtomobila, ki potuje s nespremenjeno hitrostjo je enak nič, takšna je tudi vsota vseh zunanjih sil. Sila motorja, je torej nasprotno enaka sili upora. Združimo ti dve enačbi in dobimo:
Predpostavimo da pri končni hitrosti avtomobilski motor dela s polno močjo. Ni razloga da to ne bi bilo res. Razlog je bolj marketinške kot fizikalne narave. Preprosto ni smiselno narediti osebnega avtomobila, ki glede na svoj motor ne bi imel karseda velike končne hitrosti.
Za končne hitrosti in največjo moč motorja torej zapišimo:
Dobili smo zakon, ki povezuje končno hitrost avtomobila z njegovo maksimalno hitrostjo. Prosto konstanto določimo iz podatkov različnih avtomobilov.
Zveza je sedaj popolnoma določena.
Pošljimo jo preverit v kruti svet. Vrišimo zvezo v graf, zraven pa nanizajmo podatke za avtomobile različnih zmogljivosti.
Konstanta je določena : 
V enačbi za zračni upor 
nastopa prav ista konstanta.
Koeficient zračnega upora avtomobila lahko izračunamo, če le poznamo njegov prečni presek. Na primeru avtomobila sem s preštevanjem pixlov prišel do preseka 
s tem pa po enačbi: 
do koeficienta zračnega upora
Janez
“Majmun” – fizikalni pristop
Posted by mitja in fizika, matematika, zanimivo on July 28th, 2010
Ko sem se pred kratkim sprehajal po rivieri Malega Lošinja v sklopu svojega poletnega dopusta, mi je v oko padla zanimiva atrakcija za otroke: Nekakšen hibrid med trampolinom in milejšo verzijo bungeeja. Stvar se mi je zdela zabavna, odšel sem do upravljalca in ga vprašal, kakšne so možnosti, da skakajoči zadene enega od stranskih drogov. “Pa jako težko. Osim ako skačeš ko majmun uvijek u jednu stranu.” Mojemu dekletu je bil izraz smešen in tako sva tvor krstila “majmun”.
Seveda me je kot vsakega pravega fizika – ki je užival v analitični mehaniki – mikalo raziskati fazni prostor majmuna. S kozarcem Vranca v roki sem se punci širokoustil, da je problem dokaj enostaven in bom gibalne enačbe rešil še naslednji dan, kar na papirju in brez kakršnihkoli numeričnih pripomočkov. Kako sem se uštel! Na začetku sem imel grozne probleme že z izbiro koordinatnega sistema. V kartezičnem sistemu je bil izraz za kinetično energijo preprost, medtem ko je bil zapis potencialov obupno zamotan. Ponižan po tem udarcu sem problem omejil samo na dve dimenziji, zanemaril trampolin in iskal pot prek dobre izbire generaliziranih koordinat. Na koncu sem se domislil spodnje skice:
Z zeleno so označene znane količine, torej, konstante, ki jih predhodno izberemo, z rdečo pa spremenljivke. Položaj mase “m” lahko ob vsakem trenutku povem s polarno notacijo – torej dolžino prve vzmeti “l” in kotom, ki ga vzmet oklepa s pokončnim nosilcem “φ”. Za obe vzmeti sem vzel isti koeficient raztezka “k”, “l0” pa je dolžina vzmeti v neraztegnjenem stanju in je enaka polovičnem razmaku med nosilcema. Količina “h”, torej dolžina druge vzmeti je enolično določena s kosinusnim izrekom. Po izvedbi Euler-Lagrangejevih enačb za obe koordinati dobimo sklopljeni diferencialni enačbi:
Začetna predpostavka o lahki in analitični rešitvi očitno ni bila pravilna. S pomočjo Mathematice, ki seveda prav tako ni našla analitične rešitve, sem na koncu numerično rešil sistem in dobil nekaj lepih in zanimivih faznih portretov. Da pa se prepričamo o pravilnosti rešitve, si poglejmo namišljen primer, kjer “izklopimo” gravitacijsko polje. Nosilca vzmeti sta 10 metrov narazen, maso 70 kg na začetku obesimo pod simetralo nosilcev, tako, da je kot φ = 40 stopinj = 0.69 radianov. Koeficient vzmeti je 100 N/m. Dobimo sledeč fazni portret:
ki se s časom seveda ne spreminja, saj masa niha naravnost “gor in dol” brez kakršnegakoli upora in popolnoma simetrično – kot je tudi pričakovati . (Spodnji portret prikazuje isto stvar, le da so enote logaritmirane (oprostite mi – očitno je v Mathematici nemogoče nastavit logaritemski ParametricPlot. Vnaprej bodo vse slike narisane na tak način zaradi estetskih razlogov)). Nihanje pri teh pogojih je tudi analitično rešljivo (integrabilno). Read the rest of this entry »
Levi-Civita
Italijanski matematik Tullio Levi-Civita je bil rojen leta 1873 v Padovi in tako kot večina slavnih znanstvenikov 20. stoletja je bil tudi on židovskega rodu. Diplomiral je leta 1894 na matematični fakulteti univerze v Padovi.
Poklicno se je ukvarjal predvsem s tenzorsko analizo in leta 1900 objavil delo “Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications”, iz katerega je znanje črpal Albert Einstein pri matematični formulaciji svoje splošne teorije relativnosti. S kolegom Albertom sta sodelovala tudi kasneje pri razvoju teorije gravitacije, s svojim delom pa je prispeval tudi k Diracovim enačbam v kvantni mehaniki.
Fizikom je Levi-Civita znan predvsem po svojem simbolu ε. Dejansko je to tenzor tretjega ranga, v katerem nastopajo na prebrisan način razporejene vrednosti -1, 0 in 1. Poleg tega, da je tenzor izjemno uporaben, skriva še eno zanimivo lastnost. Če ga narišemo v trodimezionalni reprezentaciji in s črtami v dva trikotnika povežemo vrednosti 1 ter -1, opazimo zanimiv vzorec, ki silno spominja na Davidovo zvezdo, znan judovski simbol. Ni jasno, ali se je zvezda tam znašla namenoma ali po naključju, vsekakor pa nič ne pokvari uporabe Levi-Civitejevega tenzorja, marveč jo naredi celo bolj privlačno in vznemirljivo.
Ambrož
Fraktalne strukture
Posted by mitja in fizika, matematika, seminar, zanimivo on November 13th, 2009
Na pobudo nekaterih študentov objavljam svoj seminar o fraktalnih strukturah, ki sem ga letos opravil pri istoimenskem predmetu. Uredništvo FMF revije vsem toplo priporoča, da se znebite te dolžnosti čimprej po prihodu v tretji letnik. Pripombe in komentarje sprejemam na mitja.drab@gmail.com.
Zgodovinsko ozadje
V preteklosti se je matematika ukvarjala predvsem z množicami in funkcijami, na katerih so bile lahko izvedljive operacije klasične analize. Funkcije, ki niso bile gladke ali zvezne so veljale za nevredne obravnave in zato velikokrat prezrte. Bile so dojete kot samostojne zanimivosti in le redko se je zdelo, da bodo kdaj našle prostor v splošni teoriji. Zgodovinsko se je koncept fraktala prvič pojavil leta 1872, ko je Karl Weierstrass predstavil primer grafa funkcije, ki je bila povsod zvezna, a nikjer odvedljiva. Leta 1904 je Helge von Koch, nezadovoljen z Weierstrassovo abstraktno definicijo podal opis v bolj geometrični obliki z likom, ki je danes znan kot Kochova snežinka. Začnemo z enakostraničnim trikotnikom, kateremu nato na vsako srednjo tretjino stranice narišemo enakostranični daljici tako, da ti dve spet tvorita enakostraničen trikotnik. Ta postopek nato ponovimo na šestih stranicah teh manjših trikotnikov in tako naprej. Z vsako iteracijo povečamo obseg lika za tretjino prejšnjega. Obseg Kochove krivulje je po n-ti iteraciji enak
Kochova snežinka je krivulja, ki nastane, ko gre število iteracij prek vseh meja, njena posebna lastnost pa je, da ima končno ploščino in neskončen obseg. Po še toliko iteracijah lahko namreč lik vedno orišemo s krogom radija R = a / √3. Kmalu se je od raznih matematikov pojavilo še več krivulj s podobnimi “pošastnimi” lastnostmi: Preproga Sierpinskega, Mengerjeva spužva (telo z neskončno površino in prostornino nič), Cantorjeva množica (imenovana tudi “Cantorjev prah”, ali interval [0,1], ki mu na začetku izrežemo srednjo tretjino, nato pa ostankoma – intervaloma [0, 1/3] in [2/3, 1] izrežemo srednji devetini ter postopek tako nadaljujemo na neizrezanih delih) ter Lévyjeva “C” krivulja, če naštejemo le nekatere. Raziskave so potekale tudi z iteracijami raznih funkcij v kompleksni ravnini (Poincaré, Klein, Julia), a zaradi omejenih sposobnosti vizualizacije in grafičnega prikaza znantnega napredka ni bilo do 60. let 20. stoletja.
Drug poglaviten vidik, ki je ločil te nove objekte od navadnih evklidskih likov pa je karakteristična dolžina. Vse like ali telesa lahko razdelimo v dve skupini glede na to ali imajo karakteristično dolžino ali ne. Karakteristična dolžina je neka tipična razdalja, ki definira velikost telesa, o katerem govorimo. Pri človeku je to lahko recimo njegova višina ali dolžina stopal, pri krogu premer. Liki in telesa brez karakteristične dolžine pa so v splošnem fraktali.
Prvi pomembni koraki v razvoju fraktalne geometrije so se pojavili, ko je poljski matematik Benoit Mendelbrot leta 1967 v reviji Science objavil članek “How long is the coast of Britain?”. V prvem delu članka govori o paradoksu dolžine obale, ki, presenetljivo, zavzema različne vrednosti v odvisnosti od merila, v katerem jo merimo, saj nima karakteristične dolžine. Paradoks je povsem empiričen: Če se odoločimo, da bomo izmerili dolžino obale v korakih po 200 kilometrov, bomo dobili manjši rezultat, kot, če bi jo merili v korakih po 50 kilometrov. Logika je preprosta, pri večjem merilu izpustimo lastnosti obale, ki so proti izbranemu merilu majhne, tako recimo pri koraku 10 kilometrov zanemarimo vse manjše zalivčke in rte. Da prikažemo netrivialnost te trditve, se vrnimo nazaj k meritvam, ki so enkrat tekle po korakih 200 km, drugič po 50 km. V prvem primeru dobimo rezultat za dolžino obale 2400 kilometrov, medtem ko pri le štirikrat manjšem merilu ta vrednost zraste za dodatnih tisoč kilometrov, torej na 3400. Problem ni bil prvotno predlagan z Mandelbrotove strani, nanj je nekaj let predhodno opozoril angleški znanstvenik Lewis Fry Richardson, ki je z empiričnimi opazovanji odkril povezavo med dolžino obale L in povečavo oziroma merilom G:
Iz izraza je očitno, da dolžina ne limitira, ko gre povečava prek vseh meja. Zaradi tega je Mandelbrot sklepal, da imajo obale samopodobne lastnosti, ter da potenca D podaja njihovo Hausdorffovo dimenzijo. To je splošnejša oblika dimenzije, ki velja tudi za fraktalne objekte, kot bomo videli v nadaljevanju. Richardson na potenco ni obrnil veliko pozornosti. Mislil je, da je število odvisno od vsake obale posebej, ter da se razlikuje tudi za eno obalo pri različnih povečavah.
Saj ni res, pa je: Osupljivi materiali
Na internetu se da najti sezname mnogih stvari in eden zanimivejših je zagotovo 7 Man-Made Substances that Laught in the Face of Physics. Originalni seznam si lahko ogledate tu (če ste pristaš raznih čudnih/zanimivih/osupljivih stvari, še malce pobrskajte za seznami na straneh Cracked ali recimo Listverse (oz. po delu o znanosti)). Pa da vidimo, katere snovi so si prislužile ta laskavi naziv.
Ferofluidi
Ferofluid: na kratko - je tekočina, ki se pod vplivom magnetnega polja močno polarizira. Na dolgo – je koloid (oz. suspenzija) iz zelo zelo majhnih (1-10nm) feromagnetnih delcev v tekočini (ponavadi organskem topilu ali vodi, ki vsebuje sredstvo za zmanjšanje površinske napetosti) in je superparamagneten. Pod vplivom magnetnega polja preide v trdno fazo - nastanejo osupljive skulpture (v obliki ježkov, božičnih drevesc in še česa bolj abstraktnega) (lahko si ogledate ferofluid v akciji). Zaradi zmožnosti menjave agregatnih stanj (in ostalih presenetljivih lastnosti) se jih uporablja kot tesnila (npr. v trdem disku), lubrikante, v stealth tehnologiji za barvo, ki absorbira radarske valove, v medicini za povečanje kontrasta pri slikanju z magnetno resonanco in še in še … Če ga hočete imeti doma, so navodila za izdelavo tu.
Aerogel
‘Zamrznjeni dim’ - aerogel je trdna snov z zelo majhno gostoto, ki nastane, ko s Kistlerjevim postopkom nadomestijo tekočo komponento gela z zrakom – snov tako na koncu vsebuje kar 90% zraka. Uporablja se ga pretežno kot izolacijski material (za toplovode oz. kakršnekoli cevi, hladilnike, pečice, oblačila), saj ima najnižjo toplotno prevodnost in najmanjšo gostoto med trdnimi materiali (med neverjetne lastnosti spadajo tudi nizka prehodnost zvoka, odlična absorbcija energije, nizka dielektrična konstanta …). Je tudi ognjevaren material, kar dokazujeta zgornji fotografiji in prenese velike obremenitve, če ga le ne poskušate prelomiti na pol. Read the rest of this entry »
Miselni eksperimenti za vsak žep
Posted by Ana in fizika, matematika, strip, zanimivo on July 19th, 2009
Znanost temelji na eksperimentih – z njimi potrdimo ali ovržemo teorije, testiramo nove ideje … Vendar pa ni potrebno vseh eksperimentov dejansko izvesti. Takemu, ki ga ni mogoče ali pa ni potrebe, da bi ga v resnici izvedli, lahko rečemo miselni preskus / eksperiment (skovanka, ki je maslo Nemcev, po njihovo Gedankenversuch oz. Gedankenexperiment). Glavna prednost je, da zanj ne potrebujemo kalkulatorja, Bronštajna ali kakšne Mathematice, celo papir je ponavadi odveč. Pa si jih oglejmo par.
Šprinterske želve, mirujoče puščice in nezmožnost gibanja
Gotovo ni bralca tega članka, ki še ni slišal za tekmovanje med Ahilom in želvo, za ta znani paradoks, ki kljubuje zdravi pameti, pa vendar … Glavni krivec je domnevno Zenon iz Eleja, grški filozof in zaprisežen zagovornik ideje, da je gibanje le iluzija. Idejo je opisal z vsaj osmimi paradoksi, od katerih so trije opisani v nadaljevanju.
Prvi (‘Achilles and the tortoise’) pravi, da počasnejšega tekača hitrejši nikoli ne bo mogel prehiteti, saj se bo počasnejši vedno premaknil za nekaj malega naprej, ko bo hitrejši dosegel njegovo prejšnje mesto. V mislih bi se nam celotna stvar mogoče še zdela smiselna, vendar ko se spomnimo na katerokoli atletsko tekmovanje, to kaj hitro propade. (Možna rešitev iz zagate paradoksa, bi bila, če bi lahko Ahil želvo, ko bi se ji dovolj približal, enostavno pograbil in prestavil kakšen meter za sabo, vendar bi to uničilo čar paradoksa, matematike pa razjezilo, kako smo lahko pomislili na tako trivialno rešitev.)
Drugi (‘Dichotomy paradox’) zanika zmožnost premikanja, saj moramo, da bi nekam prišli, najprej opraviti polovico poti, pred tem četrtino, pred tem osmino in tako v neskončnost. Da bi se premaknili za čisto majhen kos poti, bi tako morali opraviti neskončno korakov. Skratka, predstavljajte si tekača, ki po poku štartne pištole kot kip stoji za štartno črto, se zmedeno praska po glavi in razmišlja, kako naj sploh začne.
Za zadnjega (‘Arrow paradox’) si moramo zamisliti puščico v letu. Let je očitno zvezen, vendar pa če puščico pogledamo v vsakem trenutku, bo za vsak tak trenutek zasedala neko mesto in na njem mirovala. V nobenem trenutku se ne bo premikala, torej se sploh ne bo mogla premakniti.
Vsem trem argumentom pravimo paradoksi, saj očitno nasprotujejo našimi izkušnjami – v mislih ima vse skupaj še nekakšen smisel, kruta realnost pa jih kljub ‘utemeljeni logiki’ povozi na celi črti.
Digitaliziranje grafov
Velikokrat se nam pri praktikumu zgodi, da bi potrebovali digitalizirano verzijo grafa, ki ga naprimer direktno natisnemo iz osciloskopa. Na spletu je na voljo brezplačen program, ki nam prav to z lahkoto omogoča.
Graph digitizer
Program najprej prenesete na disk in namestite, delo pa se začne s skeniranjem grafa. Nato sliko odprete v programu in z enostavnim uporabniškim vmesnikom naredite priročno tabelo podatkov, ki jo lahko kopirate naravnost v Logger Pro, Excel, Origin, oziroma vaš najljubši program za delo s podatki. Z nekaj sreče in zelo kontrastnim grafom na papirju bo delovalo tudi avtomatsko odbiranje točk.
Janez