Archive for category matematika
“Majmun” – fizikalni pristop
Posted by mitja in fizika, matematika, zanimivo on July 28th, 2010
Ko sem se pred kratkim sprehajal po rivieri Malega Lošinja v sklopu svojega poletnega dopusta, mi je v oko padla zanimiva atrakcija za otroke: Nekakšen hibrid med trampolinom in milejšo verzijo bungeeja. Stvar se mi je zdela zabavna, odšel sem do upravljalca in ga vprašal, kakšne so možnosti, da skakajoči zadene enega od stranskih drogov. “Pa jako težko. Osim ako skačeš ko majmun uvijek u jednu stranu.” Mojemu dekletu je bil izraz smešen in tako sva tvor krstila “majmun”.
Seveda me je kot vsakega pravega fizika – ki je užival v analitični mehaniki – mikalo raziskati fazni prostor majmuna. S kozarcem Vranca v roki sem se punci širokoustil, da je problem dokaj enostaven in bom gibalne enačbe rešil še naslednji dan, kar na papirju in brez kakršnihkoli numeričnih pripomočkov. Kako sem se uštel! Na začetku sem imel grozne probleme že z izbiro koordinatnega sistema. V kartezičnem sistemu je bil izraz za kinetično energijo preprost, medtem ko je bil zapis potencialov obupno zamotan. Ponižan po tem udarcu sem problem omejil samo na dve dimenziji, zanemaril trampolin in iskal pot prek dobre izbire generaliziranih koordinat. Na koncu sem se domislil spodnje skice:
Z zeleno so označene znane količine, torej, konstante, ki jih predhodno izberemo, z rdečo pa spremenljivke. Položaj mase “m” lahko ob vsakem trenutku povem s polarno notacijo – torej dolžino prve vzmeti “l” in kotom, ki ga vzmet oklepa s pokončnim nosilcem “φ”. Za obe vzmeti sem vzel isti koeficient raztezka “k”, “l0” pa je dolžina vzmeti v neraztegnjenem stanju in je enaka polovičnem razmaku med nosilcema. Količina “h”, torej dolžina druge vzmeti je enolično določena s kosinusnim izrekom. Po izvedbi Euler-Lagrangejevih enačb za obe koordinati dobimo sklopljeni diferencialni enačbi:
Začetna predpostavka o lahki in analitični rešitvi očitno ni bila pravilna. S pomočjo Mathematice, ki seveda prav tako ni našla analitične rešitve, sem na koncu numerično rešil sistem in dobil nekaj lepih in zanimivih faznih portretov. Da pa se prepričamo o pravilnosti rešitve, si poglejmo namišljen primer, kjer “izklopimo” gravitacijsko polje. Nosilca vzmeti sta 10 metrov narazen, maso 70 kg na začetku obesimo pod simetralo nosilcev, tako, da je kot φ = 40 stopinj = 0.69 radianov. Koeficient vzmeti je 100 N/m. Dobimo sledeč fazni portret:
ki se s časom seveda ne spreminja, saj masa niha naravnost “gor in dol” brez kakršnegakoli upora in popolnoma simetrično – kot je tudi pričakovati . (Spodnji portret prikazuje isto stvar, le da so enote logaritmirane (oprostite mi – očitno je v Mathematici nemogoče nastavit logaritemski ParametricPlot. Vnaprej bodo vse slike narisane na tak način zaradi estetskih razlogov)). Nihanje pri teh pogojih je tudi analitično rešljivo (integrabilno). Read the rest of this entry »
Zakaj sinus? Zakaj algebra?
Posted by Ana in matematika, zanimivo on June 30th, 2010
Mnogo besed tehnične terminologije izvira bodisi iz grščine, bodisi iz latinščine ali jezikov, ki so se iz nje razvili. So v vsakodnevni ‘tehnični’ uporabi, vendar jih uporabljamo, ne da bi vedeli, kaj dejansko pomenijo. Kaj se skriva za besedo diagonala ali pa recimo algebra, matrika? Besede skrivajo več kot bi upali pričakovati …
Sinus: Od vseh ima sinus še najbolj zanimivo zgodovino, saj je posledica napačnega prevoda! Etimološko izvira iz besede ardha-jya (polovica tetive (oz. strune) v sanskrtu). Arabci so vzeli besedo jya oz. jiva in jo fonetično priredili v besedo jiba (beseda kot taka v tem jeziku nima pomena), kar se je po arabski praksi izpuščanja samoglasnikov zapisalo kot jb. Kasnejši pisci so tako, ne vedoč, da jb nima pravega pomena, besedo zapisali kot jaib, kar pomeni zaliv oz. guba. Sredi 12. stoletja je Gherardo iz Kremone zato to besedo v latinščino dobesedno prevedel kot sinus – zaliv. Če bi prevod ohranil prvotni pomen, bi mogoče tej trigonometrični funkciji danes rekli chordus. (vir1 in slovenski vir2)
Če že govorimo o trigonometričnih funkcijah, lahko omenimo še tangens, ki v latinščini pomeni dotikati se (kako prikladno), medtem ko sekanta (uganili ste) seka krog (seveda bi bilo zmotno misliti, da beseda izvira iz slovenščine, saj imata sekanta in sekati isti koren – v latinščini pomeni secans sekati).
Algebra: Vsi poznamo Pitagoro, Cauchya ali Leibniza, ampak kdo pozna matematika z imenom Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi? Redkokdo, kar je škoda, saj je napisal knjigo o reševanju enačb, Hidab al-jabr wal-muqubala, okoli leta 800 n.št. Besedi jabr in muqubala sta označevali dve osnovni operaciji s katerima rešujemo enačbe - jabr je pomenilo prenesti odštete člene na drugo stran, muqubalah pa pokrajšati člene na obeh straneh. Sčasoma se je opustila raba besede muqubalah in ta vrsta matematike je postala znana kot algebra (al-jabr).
Zanimivo je, da je beseda al-jabr v Evropo zašla tudi v nematematičnem smislu – algebrista je postal naziv za kiropraktika oz. osteopata, ravnalca kosti. V starih časih so se tako imenovali tudi brivci, saj so kot obstransko dejavnost izvajali tudi puščanje krvi in ’ravnanje kosti’, od tu izhaja tudi rdeče-bela vrteča vijačnica na znaku pred brivnicami. (vir)
In če omenimo še ‘drugo vejo’ – analizo – ta izvira iz besede analusis – razgrajevati, razčlenjevati (a v angleščini jo pogosteje srečamo kot calculus).
Nabla: Če citiram profesorja Saksido na enem od predavanj: “Ali slučajno veste, zakaj se temu reče nabla?” *tišina? “Tudi jaz ne vem, zato sprašujem.” Nabla, Zlatko Zahovič elektromagnetnega polja (metafora je last Denisa Arčona), glavna akterka vektorske analize, je očitno ljudem velika uganka. Le redkokdo ve, da v resnici izhaja iz starogrške besede za hebrejsko harfo, ki je posedovala podobno obliko, kot jo dandanes simbol nabla (na začetku je bil simbol prekucnjen na bok). Nabli se včasih reče tudi atled, kar je posledica dejstva, da izgleda kot določena narobe obrnjena grška črka, v grščini se pa simbolu dejansko reče ανάδελτα (anádelta) oz. na glavo obrnjena delta.
Diferencial: Srečni smo lahko, da je v boju med Newtonom in Leibnizom glede poimenovanja zmagal slednji (četudi je zasluge za odkritje požel jabolkoljub), saj je imel angleški genij za odvode zveznih (oz. fluentnih, tekočih) funkcij, ki jih je označeval s piko nad simbolom, pripravljeno ime fluxions. Leibnizovi diferenciali (iz latinske differentia, razlika) so nam danes mnogo bolj poznani, naj pa omenim še, da je nemški matematik rad operiral s tako imenovanimi infinitezimalami (očitno ime za neskončno majhne stvari), ki pa so jim ugledni matematiki tistega časa radi rekli duhovi preminulih količin (ghosts of departed quantities).
+ še par drugih besed za dodatek
Diagonala – iz grške diagonios (dia – počez oz. skozi, gonia - kot), prešla v latinščino kot diagonus (poševna črta)
Skalar – iz angleškega scale (obseg števil, skala), ki izvira iz latinske besede za lestev – scala – prvič uporabljena šele leta 1846, ko je Hamilton opisoval realni del kvaterniona (bolj kompleksne stvari od kompleksnih števil)
Vektor – nosilec (iz latinskega vehere) in očiten vnos nemščine v matematiko – eigenvector in eigenvalue za lastna vektor in vrednost
Tenzor – iz latinskega tensus, mehanska napetost, tenzija
Matrika – iz latinske matrix, ki pomeni maternica, kar pa izvira iz besede mater, ki pomeni, glej glej, mati
Ana
Levi-Civita
Italijanski matematik Tullio Levi-Civita je bil rojen leta 1873 v Padovi in tako kot večina slavnih znanstvenikov 20. stoletja je bil tudi on židovskega rodu. Diplomiral je leta 1894 na matematični fakulteti univerze v Padovi.
Poklicno se je ukvarjal predvsem s tenzorsko analizo in leta 1900 objavil delo “Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications”, iz katerega je znanje črpal Albert Einstein pri matematični formulaciji svoje splošne teorije relativnosti. S kolegom Albertom sta sodelovala tudi kasneje pri razvoju teorije gravitacije, s svojim delom pa je prispeval tudi k Diracovim enačbam v kvantni mehaniki.
Fizikom je Levi-Civita znan predvsem po svojem simbolu ε. Dejansko je to tenzor tretjega ranga, v katerem nastopajo na prebrisan način razporejene vrednosti -1, 0 in 1. Poleg tega, da je tenzor izjemno uporaben, skriva še eno zanimivo lastnost. Če ga narišemo v trodimezionalni reprezentaciji in s črtami v dva trikotnika povežemo vrednosti 1 ter -1, opazimo zanimiv vzorec, ki silno spominja na Davidovo zvezdo, znan judovski simbol. Ni jasno, ali se je zvezda tam znašla namenoma ali po naključju, vsekakor pa nič ne pokvari uporabe Levi-Civitejevega tenzorja, marveč jo naredi celo bolj privlačno in vznemirljivo.
Ambrož
Fraktalne strukture
Posted by mitja in fizika, matematika, seminar, zanimivo on November 13th, 2009
Na pobudo nekaterih študentov objavljam svoj seminar o fraktalnih strukturah, ki sem ga letos opravil pri istoimenskem predmetu. Uredništvo FMF revije vsem toplo priporoča, da se znebite te dolžnosti čimprej po prihodu v tretji letnik. Pripombe in komentarje sprejemam na mitja.drab@gmail.com.
Zgodovinsko ozadje
V preteklosti se je matematika ukvarjala predvsem z množicami in funkcijami, na katerih so bile lahko izvedljive operacije klasične analize. Funkcije, ki niso bile gladke ali zvezne so veljale za nevredne obravnave in zato velikokrat prezrte. Bile so dojete kot samostojne zanimivosti in le redko se je zdelo, da bodo kdaj našle prostor v splošni teoriji. Zgodovinsko se je koncept fraktala prvič pojavil leta 1872, ko je Karl Weierstrass predstavil primer grafa funkcije, ki je bila povsod zvezna, a nikjer odvedljiva. Leta 1904 je Helge von Koch, nezadovoljen z Weierstrassovo abstraktno definicijo podal opis v bolj geometrični obliki z likom, ki je danes znan kot Kochova snežinka. Začnemo z enakostraničnim trikotnikom, kateremu nato na vsako srednjo tretjino stranice narišemo enakostranični daljici tako, da ti dve spet tvorita enakostraničen trikotnik. Ta postopek nato ponovimo na šestih stranicah teh manjših trikotnikov in tako naprej. Z vsako iteracijo povečamo obseg lika za tretjino prejšnjega. Obseg Kochove krivulje je po n-ti iteraciji enak
Kochova snežinka je krivulja, ki nastane, ko gre število iteracij prek vseh meja, njena posebna lastnost pa je, da ima končno ploščino in neskončen obseg. Po še toliko iteracijah lahko namreč lik vedno orišemo s krogom radija R = a / √3. Kmalu se je od raznih matematikov pojavilo še več krivulj s podobnimi “pošastnimi” lastnostmi: Preproga Sierpinskega, Mengerjeva spužva (telo z neskončno površino in prostornino nič), Cantorjeva množica (imenovana tudi “Cantorjev prah”, ali interval [0,1], ki mu na začetku izrežemo srednjo tretjino, nato pa ostankoma – intervaloma [0, 1/3] in [2/3, 1] izrežemo srednji devetini ter postopek tako nadaljujemo na neizrezanih delih) ter Lévyjeva “C” krivulja, če naštejemo le nekatere. Raziskave so potekale tudi z iteracijami raznih funkcij v kompleksni ravnini (Poincaré, Klein, Julia), a zaradi omejenih sposobnosti vizualizacije in grafičnega prikaza znantnega napredka ni bilo do 60. let 20. stoletja.
Drug poglaviten vidik, ki je ločil te nove objekte od navadnih evklidskih likov pa je karakteristična dolžina. Vse like ali telesa lahko razdelimo v dve skupini glede na to ali imajo karakteristično dolžino ali ne. Karakteristična dolžina je neka tipična razdalja, ki definira velikost telesa, o katerem govorimo. Pri človeku je to lahko recimo njegova višina ali dolžina stopal, pri krogu premer. Liki in telesa brez karakteristične dolžine pa so v splošnem fraktali.
Prvi pomembni koraki v razvoju fraktalne geometrije so se pojavili, ko je poljski matematik Benoit Mendelbrot leta 1967 v reviji Science objavil članek “How long is the coast of Britain?”. V prvem delu članka govori o paradoksu dolžine obale, ki, presenetljivo, zavzema različne vrednosti v odvisnosti od merila, v katerem jo merimo, saj nima karakteristične dolžine. Paradoks je povsem empiričen: Če se odoločimo, da bomo izmerili dolžino obale v korakih po 200 kilometrov, bomo dobili manjši rezultat, kot, če bi jo merili v korakih po 50 kilometrov. Logika je preprosta, pri večjem merilu izpustimo lastnosti obale, ki so proti izbranemu merilu majhne, tako recimo pri koraku 10 kilometrov zanemarimo vse manjše zalivčke in rte. Da prikažemo netrivialnost te trditve, se vrnimo nazaj k meritvam, ki so enkrat tekle po korakih 200 km, drugič po 50 km. V prvem primeru dobimo rezultat za dolžino obale 2400 kilometrov, medtem ko pri le štirikrat manjšem merilu ta vrednost zraste za dodatnih tisoč kilometrov, torej na 3400. Problem ni bil prvotno predlagan z Mandelbrotove strani, nanj je nekaj let predhodno opozoril angleški znanstvenik Lewis Fry Richardson, ki je z empiričnimi opazovanji odkril povezavo med dolžino obale L in povečavo oziroma merilom G:
Iz izraza je očitno, da dolžina ne limitira, ko gre povečava prek vseh meja. Zaradi tega je Mandelbrot sklepal, da imajo obale samopodobne lastnosti, ter da potenca D podaja njihovo Hausdorffovo dimenzijo. To je splošnejša oblika dimenzije, ki velja tudi za fraktalne objekte, kot bomo videli v nadaljevanju. Richardson na potenco ni obrnil veliko pozornosti. Mislil je, da je število odvisno od vsake obale posebej, ter da se razlikuje tudi za eno obalo pri različnih povečavah.
Kompilacija: Matjaž Željko
Posted by Ana in matematika, strip on August 12th, 2009
Čas hitro mine in kot bi mignil je spet potrebno narediti kakšno stvar za faks. Vsi vemo, da se je težko spet spraviti za knjige, računalnik, skopirane zapiske … saj poletno sonce še kako preveč prijetno sije tam na drugi strani okna. Da pa bo prehod lažji, je tu par stripov z vaj iz matematike (oz. analize, za vse tiste nebolonjce), ki vas bodo, upam da, čim nežneje vpeljali v tisti manj prijeten del študijskega življenja. (če pa ste med tistimi srečneži, ki imajo prosto do oktobra, naj vas stripi spomnijo na faks, da ne boste pozabili, kaj smo tam sploh počeli 
)
Raje si ne predstavljaj situacije, ko imaš pet ortonormiranih vektorjev in bi jih rad vektorsko delil …
Naj se glede teh borznih minusov obrnemo na finančne matematike?
Po novem imamo tudi brez-parametrični krog in devet-parametrični kvadrat, vendar za zadnje nisem popolnoma prepričana …
Ali si lahko tudi ti izmisliš tak matematični tongue twister?
Na sporedu je drugi del kuhinjskih mojstrovin, tema današnje oddaje – algebra!
Miselni eksperimenti za vsak žep
Posted by Ana in fizika, matematika, strip, zanimivo on July 19th, 2009
Znanost temelji na eksperimentih – z njimi potrdimo ali ovržemo teorije, testiramo nove ideje … Vendar pa ni potrebno vseh eksperimentov dejansko izvesti. Takemu, ki ga ni mogoče ali pa ni potrebe, da bi ga v resnici izvedli, lahko rečemo miselni preskus / eksperiment (skovanka, ki je maslo Nemcev, po njihovo Gedankenversuch oz. Gedankenexperiment). Glavna prednost je, da zanj ne potrebujemo kalkulatorja, Bronštajna ali kakšne Mathematice, celo papir je ponavadi odveč. Pa si jih oglejmo par.
Šprinterske želve, mirujoče puščice in nezmožnost gibanja
Gotovo ni bralca tega članka, ki še ni slišal za tekmovanje med Ahilom in želvo, za ta znani paradoks, ki kljubuje zdravi pameti, pa vendar … Glavni krivec je domnevno Zenon iz Eleja, grški filozof in zaprisežen zagovornik ideje, da je gibanje le iluzija. Idejo je opisal z vsaj osmimi paradoksi, od katerih so trije opisani v nadaljevanju.
Prvi (‘Achilles and the tortoise’) pravi, da počasnejšega tekača hitrejši nikoli ne bo mogel prehiteti, saj se bo počasnejši vedno premaknil za nekaj malega naprej, ko bo hitrejši dosegel njegovo prejšnje mesto. V mislih bi se nam celotna stvar mogoče še zdela smiselna, vendar ko se spomnimo na katerokoli atletsko tekmovanje, to kaj hitro propade. (Možna rešitev iz zagate paradoksa, bi bila, če bi lahko Ahil želvo, ko bi se ji dovolj približal, enostavno pograbil in prestavil kakšen meter za sabo, vendar bi to uničilo čar paradoksa, matematike pa razjezilo, kako smo lahko pomislili na tako trivialno rešitev.)
Drugi (‘Dichotomy paradox’) zanika zmožnost premikanja, saj moramo, da bi nekam prišli, najprej opraviti polovico poti, pred tem četrtino, pred tem osmino in tako v neskončnost. Da bi se premaknili za čisto majhen kos poti, bi tako morali opraviti neskončno korakov. Skratka, predstavljajte si tekača, ki po poku štartne pištole kot kip stoji za štartno črto, se zmedeno praska po glavi in razmišlja, kako naj sploh začne.
Za zadnjega (‘Arrow paradox’) si moramo zamisliti puščico v letu. Let je očitno zvezen, vendar pa če puščico pogledamo v vsakem trenutku, bo za vsak tak trenutek zasedala neko mesto in na njem mirovala. V nobenem trenutku se ne bo premikala, torej se sploh ne bo mogla premakniti.
Vsem trem argumentom pravimo paradoksi, saj očitno nasprotujejo našimi izkušnjami – v mislih ima vse skupaj še nekakšen smisel, kruta realnost pa jih kljub ‘utemeljeni logiki’ povozi na celi črti.
Dovolj imamo pi-ja!
Posted by Ana in gossip, matematika on April 1st, 2009
Pi je zagotovo najbolj znana matematična konstanta in lahko bi rekli tudi edina poznana širši javnosti, zato ni čudno, da so se privrženci popularizacije matematike odločili, da je skrajni čas, da svet seznanijo še z ostalimi, prav tako zanimivimi konstantami. Za začetek so izbrali konstanti e (znano tudi kot Eulerjevo število oz. Napierova konstanta), osnovo naravnih logaritmov in fi (oz. po angleško phi) (bolj znan kot zlati rez), saj sta v naravoslovju uporabni vsaj toliko kot pi in bi si zato zaslužili večjo prepoznavnost.
Od zdaj naprej bodo po hodnikih družboslovnih fakultet, na javnih straniščih, v vrtcih in drugih krajih, kjer je zaznati očitno pomanjkanje zanimanja za lepoto matematičnih konstant, viseli listi z izpisom decimalk vsakega od teh števil. Predlagalo se je že, da bi uvedli tudi tekmovanje v recitiranju števil fi in e, vsakega na dan, ki predstavlja približek, tj. 16. in 27. januarja. Prednost teh tekmovanj bi bila v tem, da bi tekmovalec, če bi zaradi treme pozabil kakšno števko, to z lahkoto kar na licu mesta izračunal, saj sta formuli za izračun teh konstant dokaj trivialni in sicer:
Prav tako se bo organiziralo delavnice na ulicah v središču Ljubljane, kjer bodo mimoidoči lahko sodelovali pri računanju e in fi brez uporabe kalkulatorja (ali Mathematice), se pustili premeriti od glave do pet in tako izvedeli, kateri deli telesa so v razmerju zlatega reza, se naučili uporabljati logaritemsko računalo ali pa pograbili vodni balonček in ciljali na velik pi, ki bo stal sredi glavnega trga, okrašen z napisom ‘nič več najpomembnejša konstanta‘. Celoten niz dogodkov se bo zaključil s pogostitvijo, kjer ne bodo stregli pit, pistacij in piškotov, kot je bila navada pri pi-ju, temveč torte v obliki popolnega pravokotnika z napisi This cake totally pwns pi.
Našli pa so se tudi zagovorniki ideje, da je potrebno pi približati širšim množicam z uvedbo približka pi = 3. S tem so se zgledovali po zgodovinskih dejstvih, da so že Rimljani gradili s to aproksimacijo, stvari so pa vseeno stale pokonci. “Napaka, ki se pojavi pri taki uporabi, je manjša od 5% in za slehernika povsem sprejemljiva, saj še za polet na Luno ne potrebujemo pi na več kot 10 decimalk natančno,” je dejal predstavnik Društva za devolucijo pi-ja.
Vendar pa novi izračuni kažejo, da je doba pi-ja kot transcendentne konstante enkrat za vselej mimo, saj so zaradi napak zaokroževanja spregledali dejstvo, da se za 762. mestom začnejo periodično ponavljati števke 9. Tako bo pi končno odstopil svoje mesto drugim, manj predvidljivim konstantam in se v miru ‘upokojil’.
Ana
Problemi za milijon dolarjev
Posted by admin in matematika, zanimivo on March 15th, 2009
The Clay Mathematics Institute (CMI) of Cambridge, Massachusetts (http://www.claymath.org) je 24. maja 2000 v okviru Millennium Meeting-a razglasil sedem največjih še nerešenih problemov matematike in ustanovil fond, vreden $7.000.000, za rešitve teh problemov – $1mio za vsako.
Na odločitev, katere probleme uvrstiti med največjih 7, je vplivalo tudi predavanje Davida Hilberta 8. Avgusta 1900, v katerem je navedel svoj seznam 23. problemov. Problemi pa so naslednji:
1. Domneva Bircha in Swinnerton-Dyera
2. Domneva Hodgea
3. Obstoj in gladkost rešitev Navier–Stokesovih enačb
4. P = NP
5. Poincaréjeva domneva
6. Riemannova hipoteza
7. Obstoj teorije Yanga in Millsa in “masna vrzel”
Hilbert curve
Galerija algebraičnih ploskev
Posted by janez in matematika on February 15th, 2009
Internetna stran z veliko klasifikacij ploskev v prostoru. Prava paša za oči in možgane. Pisava bi lahko bila malenkost bolj resna.
Janez
“Teorem” krogov
Posted by mitja in matematika on February 11th, 2009
Pričujoči članek je plod zelo stare najstniške obsesije z geometrijo (v rosnih letih sem se s tovrstnimi zadevami zelo rad ukvarjal). Nekega dne se mi je posrečilo dokazati zanimivo lastnost para krogov in njunih tangent. Začnemo z dvema krogoma poljubnih radijev in poljubne razdalje med njima (le, da se ne dotikata), ter nanju narišemo dva para tangent, od tega en par, ki vodi do središča enega kroga in en par, ki vodi do središča drugega. Z nekaj srednješolskega znanja o podobnih trikotnikih se da lepo pokazati, da je rdeča daljica (torej, sekanta, določena s presečiščem tangente in oboda) v vsakem primeru enako dolga na obeh straneh. Na sliki bi to pomenilo |FE|=|GH|, zaradi simetrije je podobno tudi na drugi strani, torej 2|FE| = 2|GH|. Verjetno ne preveč šokantna trditev za svet matematike, a svojčas zelo razburljivo odkritje. Mitja