Za tipično hitrost in dimenzijo avtomobila je Reynoldsovo število veliko. Torej velja kvadratni zakon zračnega upora:

Moč motorja lahko zapišemo kot znano zvezo:

Pospešek avtomobila, ki potuje s nespremenjeno hitrostjo je enak nič, takšna je tudi vsota vseh zunanjih sil. Sila motorja, je torej nasprotno enaka sili upora. Združimo ti dve enačbi in dobimo:

Predpostavimo da pri končni hitrosti avtomobilski motor dela s polno močjo. Ni razloga da to ne bi bilo res. Razlog je bolj marketinške kot fizikalne narave. Preprosto ni smiselno narediti osebnega avtomobila, ki glede na svoj motor ne bi imel karseda velike končne hitrosti.
Za končne hitrosti in največjo moč motorja torej zapišimo:

Dobili smo zakon, ki povezuje končno hitrost avtomobila z njegovo maksimalno hitrostjo. Prosto konstanto določimo iz podatkov različnih avtomobilov.

Zveza je sedaj popolnoma določena.
Pošljimo jo preverit v kruti svet. Vrišimo zvezo v graf, zraven pa nanizajmo podatke za avtomobile različnih zmogljivosti.

Konstanta je določena :

V enačbi za zračni upor nastopa prav ista konstanta.

Koeficient zračnega upora avtomobila lahko izračunamo, če le poznamo njegov prečni presek. Na primeru avtomobila sem s preštevanjem pixlov prišel do preseka s tem pa po enačbi: do koeficienta zračnega upora

Janez

Bookmark It

Hide Sites

Sinonimi za lepo so tudi ‘rešljiva’,'obrnljiva’ in ‘Mathematica pozna rešitev’.

Obstaja tudi metoda konstruktivne lenobe, vendar več o tem v naslednjem stripu.

Asistenti in profesorji so tako odkrili učinkovit način, kako vzpostaviti tišino v razredu → postavi vprašanje.

Kolegice in kolegi, to je zanimiv prikaz Murphyevega zakona.

Bralci določene trilogije bodo najbrž prepoznali povezavo, o tem ne dvomim.

(mimogrede: čestitam ljudem, ki so našo revijo našli pod iskalnimi gesli: ’sredstvo proti obadom’, ‘angleška beseda za lestev’, ‘mrš’ in ‘blazno kul tip’ … polepšali ste nam dan )

Bookmark It

Hide Sites

Seveda me je kot vsakega pravega fizika – ki je užival v analitični mehaniki – mikalo raziskati fazni prostor majmuna. S kozarcem Vranca v roki sem se punci širokoustil, da je problem dokaj enostaven in  bom gibalne enačbe rešil še naslednji dan, kar na papirju in brez kakršnihkoli numeričnih pripomočkov. Kako sem se uštel! Na začetku sem imel grozne probleme že z izbiro koordinatnega sistema. V kartezičnem sistemu je bil izraz za kinetično energijo preprost, medtem ko je bil zapis potencialov obupno zamotan. Ponižan po tem udarcu sem problem omejil samo na dve dimenziji, zanemaril trampolin in iskal pot prek dobre izbire generaliziranih koordinat. Na koncu sem se domislil spodnje skice:

Z zeleno so označene znane količine, torej, konstante, ki jih predhodno izberemo, z rdečo pa spremenljivke. Položaj mase “m” lahko ob vsakem trenutku povem s polarno notacijo – torej dolžino prve vzmeti “l” in kotom, ki ga vzmet oklepa s pokončnim nosilcem “φ”. Za obe vzmeti sem vzel isti koeficient raztezka “k”, “l₀” pa je dolžina vzmeti v neraztegnjenem stanju in je enaka polovičnem razmaku med nosilcema. Količina “h”, torej dolžina druge vzmeti je enolično določena s kosinusnim izrekom. Po izvedbi Euler-Lagrangejevih enačb za obe koordinati dobimo sklopljeni diferencialni enačbi:

Začetna predpostavka o lahki in analitični rešitvi očitno ni bila pravilna. S pomočjo Mathematice, ki seveda prav tako ni našla analitične rešitve, sem na koncu numerično rešil sistem in dobil nekaj lepih in zanimivih faznih portretov. Da pa se prepričamo o pravilnosti rešitve,  si poglejmo namišljen primer, kjer “izklopimo” gravitacijsko polje. Nosilca vzmeti sta 10 metrov narazen, maso 70 kg na začetku obesimo pod simetralo nosilcev, tako, da je kot φ = 40 stopinj = 0.69 radianov. Koeficient vzmeti je 100 N/m. Dobimo sledeč fazni portret:

ki se s časom seveda ne spreminja, saj masa niha naravnost “gor in dol” brez kakršnegakoli upora in popolnoma simetrično – kot je tudi pričakovati . (Spodnji portret prikazuje isto stvar, le da so enote logaritmirane (oprostite mi – očitno je v Mathematici nemogoče nastavit logaritemski ParametricPlot. Vnaprej bodo vse slike narisane na tak način zaradi estetskih razlogov)). Nihanje pri teh pogojih je tudi analitično rešljivo (integrabilno).

Zdaj, ko smo se prepričali, da so rešitve fizikalno smiselne, si poglejmo nekaj faznih portretov gibanja pri navedenih začetnih pogojih:

m=70, k=1000, g=9.81, d=10,

l(0)=7.77, l’(0)=0, Φ(0)=0.59, Φ’(0)=0. (t=30)

m=70, k=1000, g=9.81, d=10,

l(0)=7.77, l’(0)=10, Φ(0)=0.59, Φ’(0)=0. (t=30)

m=70, k=1000, g=9.81, d=10,

l(0)=7.77, l’(0)=10, Φ(0)=0.59, Φ’(0)=2. (t=30)

m=5, k=100, g=9.81, d=5,

l(0)=7, l’(0)=3, Φ(0)=0.49, Φ’(0)=1. (t=30)

m=70, k=100, g=9.81, d=10,

l(0)=5, l’(0)=5, Φ(0)=0.69, Φ’(0)=5. (t=40)

m=10, k=1000, g=9.81, d=10,

l(0)=7.7, l’(0)=0, Φ(0)=1, Φ’(0)=0. (t=40)

m=10, k=1000, g=2, d=10,

l(0)=8, l’(0)=1, Φ(0)=1, Φ’(0)=3. (t=40)

…Pa še bi lahko našteval. Začetnih pogojev in parametrov je takorekoč neskončno. Še en dokaz, kako povsem preproste stvari lahko manifestirajo nesluteno matematično lepoto.

Bookmark It

Hide Sites

Klepetalnica ponuja veliko mero prilagodljivosti. Sami lahko predlagate temo. Svetujemo pa da se držite teme posameznega pogovora, da ne bo zmede.

Uredništvo FMFrevije

Bookmark It

Hide Sites

Sinus: Od vseh ima sinus še najbolj zanimivo zgodovino, saj je posledica napačnega prevoda! Etimološko izvira iz besede ardha-jya (polovica tetive (oz. strune) v sanskrtu). Arabci so vzeli besedo jya oz. jiva in jo fonetično priredili v besedo jiba (beseda kot taka v tem jeziku nima pomena), kar se je po arabski praksi izpuščanja samoglasnikov zapisalo kot jb. Kasnejši pisci so tako, ne vedoč, da jb nima pravega pomena, besedo zapisali kot jaib, kar pomeni zaliv oz. guba. Sredi 12. stoletja je Gherardo iz Kremone zato to besedo v latinščino dobesedno prevedel kot sinus – zaliv. Če bi prevod ohranil prvotni pomen, bi mogoče tej trigonometrični funkciji danes rekli chordus. (vir1 in slovenski vir2)

Če že govorimo o trigonometričnih funkcijah, lahko omenimo še tangens, ki v latinščini pomeni dotikati se (kako prikladno), medtem ko sekanta (uganili ste) seka krog (seveda bi bilo zmotno misliti, da beseda izvira iz slovenščine, saj imata sekanta in sekati isti koren – v latinščini pomeni secans sekati).

Algebra: Vsi poznamo Pitagoro, Cauchya ali Leibniza, ampak kdo pozna matematika z imenom Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi? Redkokdo, kar je škoda, saj je napisal knjigo o reševanju enačb, Hidab al-jabr wal-muqubala, okoli leta 800 n.št. Besedi jabr in muqubala sta označevali dve osnovni operaciji s katerima rešujemo enačbe - jabr je pomenilo prenesti odštete člene na drugo stran, muqubalah pa pokrajšati člene na obeh straneh. Sčasoma se je opustila raba besede muqubalah in ta vrsta matematike je postala znana kot algebra (al-jabr).

Zanimivo je, da je beseda al-jabr v Evropo zašla tudi v nematematičnem smislu – algebrista je postal naziv za kiropraktika oz. osteopata, ravnalca kosti. V starih časih so se tako imenovali tudi brivci, saj so kot obstransko dejavnost izvajali tudi puščanje krvi in ’ravnanje kosti’, od tu izhaja tudi rdeče-bela vrteča vijačnica na znaku pred brivnicami. (vir)

In če omenimo še ‘drugo vejo’ – analizo – ta izvira iz besede analusis – razgrajevati, razčlenjevati (a v angleščini jo pogosteje srečamo kot calculus).

Nabla: Če citiram profesorja Saksido na enem od predavanj: “Ali slučajno veste, zakaj se temu reče nabla?” *tišina? “Tudi jaz ne vem, zato sprašujem.” Nabla, Zlatko Zahovič elektromagnetnega polja (metafora je last Denisa Arčona), glavna akterka vektorske analize, je očitno ljudem velika uganka. Le redkokdo ve, da v resnici izhaja iz starogrške besede za hebrejsko harfo, ki je posedovala podobno obliko, kot jo dandanes simbol nabla (na začetku je bil simbol prekucnjen na bok). Nabli se včasih reče tudi atled, kar je posledica dejstva, da izgleda kot določena narobe obrnjena grška črka, v grščini se pa simbolu dejansko reče ανάδελτα (anádelta) oz. na glavo obrnjena delta.

Diferencial: Srečni smo lahko, da je v boju med Newtonom in Leibnizom glede poimenovanja zmagal slednji (četudi je zasluge za odkritje požel jabolkoljub), saj je imel angleški genij za odvode zveznih (oz. fluentnih, tekočih) funkcij, ki jih je označeval s piko nad simbolom, pripravljeno ime fluxions. Leibnizovi diferenciali (iz latinske differentia, razlika) so nam danes mnogo bolj poznani, naj pa omenim še, da je nemški matematik rad operiral s tako imenovanimi infinitezimalami (očitno ime za neskončno majhne stvari), ki pa so jim ugledni matematiki tistega časa radi rekli duhovi preminulih količin (ghosts of departed quantities).

+ še par drugih besed za dodatek
Diagonala – iz grške diagonios (dia – počez oz. skozi, gonia - kot), prešla v latinščino kot diagonus (poševna črta)
Skalar – iz angleškega scale (obseg števil, skala), ki izvira iz latinske besede za lestev – scala – prvič uporabljena šele leta 1846, ko je Hamilton opisoval realni del kvaterniona (bolj kompleksne stvari od kompleksnih števil)
Vektor – nosilec (iz latinskega vehere) in očiten vnos nemščine v matematiko – eigenvector in eigenvalue za lastna vektor in vrednost
Tenzor – iz latinskega tensus, mehanska napetost, tenzija
Matrika – iz latinske matrix, ki pomeni maternica, kar pa izvira iz besede mater, ki pomeni, glej glej, mati

Ana

Bookmark It

Hide Sites

Potem, ko si enkrat velik in pameten, vidiš, da si vse analitične stvari, ki so zate pomembne, oddelal večinoma do konca faksa.

Za pravilno matematično higieno priporočamo vsaj dvajset minut telovadbe izpeljevanja na dan.

Še en ‘and then a miracle occurs’ trenutek v nastajanju.

Pojavlja se zlasti od osmih do dvanajstih zjutraj in od pol enih do petih popoldne, med vajami, predavanji in seminarji, ne ločuje med spoloma in nastopi še hitreje, če je prisoten projektor, ki utripa z 20Hz.

Če bi bili pred tablo kakšni mali kitajski geniji, bi odgovor dobili v 0,4s, rešitev naloge pa eno sekundo kasneje.

Bookmark It

Hide Sites

Brisačonosci na FMF

Ampak zakaj ravno brisača? Odgovor poda kar knjiga sama:

Štoparski vodnik po Galaksiji ve o brisačah povedati kar dosti stvari: Brisača, pravi, je takole približno naj – naj najkoristnejša stvar, ki si jo medzvezdni popotnik lahko omisli. Po eni plati ima veliko praktično vrednost – lahko jo ovije okrog sebe, da ga greje, ko prečka mrzle lune Bete Jaglana; na lesketajočih se plažah iz marmornega peska na Santraginusu V se lahko uleže nanjo in vdihava opojne morske hlape; na njej lahko spi pod zvezdarni, ki sijejo tako žareče rdeče na puščavskem Kakrafoonu; lahko jo razpne kot jadro na majhnem splavu in se odpelje po počasni težki reki Moth; mokro lahko uporabi kot orožje v boju z golimi rokami; lahko si jo ovije okrog glave, da se zaščiti pred škodljivimi izparinami ali da se obrani pogleda traalskega hroščatega krvoloka (neznansko neumna žival: če ga ne morete videti, sklepa, da tudi on ne vidi vas – zabit ko štor, ampak zelo zelo krvoločen); z njo lahko maha v stiski, da prikliče pomoč, in seveda se z njo lahko tudi obriše, če je še vedno dovolj snažna. Še mnogo pomembnejša je psihološka vrednost brisače. Je že tako, da vsak strag (strag: ne-popotnik), brž ko pri štoparju opazi brisačo, samodejno privzame, da poseduje štopar tudi zobno krtačko, flanelasto otiračo za obraz, milo, pločevinko keksov, čutarico, kompas, zemljevid, klobčič vrvice, razpršilec proti obadom, opremo za dež, vesoljski skafander itd itd. Še več, taisti strag bo tudi z veseljem posodil štoparju katerokoli od teh ali nadaljnjega ducata drugih stvari, ki jih je štopar po nesreči “izgubil”. Strag si namreč misli, da je vsakdo, ki je prepotoval Galaksijo podolgem in počez, se prebil skozi njene temačne kotičke, vzdržal v strahotno neenaki borbi s sovražnimi silami in jih končno tudi premagal, pri vsem tem pa še vedno ve, kje ima brisačo, očitno človek, s katerim je treba računati. Odtod tudi izraz, ki se je ustalil v štoparskem žargonu, kot na primer v zvezi “Hej, ti gnaš tega hupi Forda Prefecta? Tapravi frud, ve, kje ima brisačo.” (Gnaš, gnajti: poznati, vedeti za, srečati, spati z; hupi: kul tip; frud: res blazno kul tip.) (Štoparski vodnik po galaksiji, prevedel Alojz Kodre)

Na faksu je bilo mogoče videti mnogo ljubiteljev te znanstvenofanstastične knjige (ali mogoče brisač nasploh), kako so se oviti v mehko blago (oziroma z brisačo vrženo čez ramo) sprehajali po hodnikih.

Še več ljudi! Še več brisač!

Letos pa je bilo pripravljeno tudi presenečenje. Z dovoljenjem dekana smo za slabega pol dneva zastavo, ki visi pred vhodom v fakulteto, zamenjali s pravo brisačo, s črno številko 42 na rdečem ozadju, ki je bila tako par ur deležna marsikatere dvignjene obrvi ali nasmeška. Slovesno dviganje in spuščanje zastave/brisače je bilo zabeleženo tudi na digitalnem filmu, posnetek se bo tako mogoče pojavil na tej strani, kdo bi vedel.

Levo: pri izdelavi smo za pomoč zaprosili tudi hišnika. Desno: še zadnja priprava številk

Slavnostno dvigovanje brisače. Manjkala je mogoče le še svečana himna.

A zakaj je na brisači pisalo ravno 42? Če ste brali Štoparja ali pa vsaj FMF revijo, odgovor zagotovo poznate. Za tiste nevedne - to je odgovor na vprašanje o življenju, vesolju in sploh vsem (dejansko vprašanje pa še vedno ostaja ovito v tančice skrivnosti). Tisti bolj pozorni so na dan brisače lahko 42 zapazili tudi na steklenih šipah predavalnic v drugem nadstropju, na stropu v učilnici F5 ter na asfaltu pred faksom, napisanih s kredo. Če se jih je kdo spravil prešteti, je prav možno, da bi jih naštel prav 42 …

Ana

Bookmark It

Hide Sites

xkcd - Malo je mafijcev, ki še niso slišali za ta strip z neizgovorljivim imenom, ki sam zase pravi, da je spletni strip romance, sarkazma, matematike in jezika (nekateri so ga opisali celo kot: Imamo graf, na osi x je seks, na osi y računalnik). Če vam je všeč znanost, geekovska romanca, računalništvo in nanašanje na internetno pop kulturo, je to pravi strip za vas. (del stripa predstavlja tudi takoimenovani alt-text - enostavno premaknite kurzor čez sliko in pojavil se bo dodatek k stripu)

Comic JK - Na kratko: xkcd wannabe, uporablja precej podoben stil in je poln znanstvenih besednih iger. Objavlja rahlo pogosteje kot zgornji, kar se lahko pokaže kot plus za novih-stripov-željnega geeka.

brightly wound - Zaradi uspešnosti xkcd ni čudno, da je ’stick figure’ stil postal ’the thing’ za dosti stripov podobne tematike - brightly wound (strip fizike, astronomije, matematike in slovnice) s preizkušeno formulo doseže svoje. (en strip je že doživel objavo na FMF reviji, kjer je naštel 10 korakov, kako postati pravi študent fizike)

Piled Higher and Deeper (oz. PhD comics) – Eden lepše narisanih stripov te vrste, PhD predstavlja življenje do in podiplomcev, profesorjev in vsega, kar se dogaja na faksu. V vsakem stripu se lahko najdejo tako študenti kot asistenti, profesorji in starši, ki se sprašujejo, kdaj bo končno njihov mulc diplomiral. Strip vsebuje tudi marsikateri graf (entropija stvari na pisalni mizi, kaj veš proti koliko veš o tem v odvisnosti od stopnje izobrazbe …) in serijo izmišljenih znanstvenih resnic (kot npr. Quantum Gradnamics), ki so svoje čase visele po stenah faksa.

abstruse goose - Kup letečih glav, enostavno, zabavno in dovolj geeky, da zadovolji potrebo po dobrem stripu, ki ga ne razume vsaj 90% populacije.

indexed - Če so ti všeč Vennovi diagrami in grafi nasploh, je indexed pravi zate z enostavnimi, na črtast papir narisanimi grafki, da te bo pograbilo, da bi še sam kakšnega narisal (obstaja tudi knjiga Venn that tune, ki v taki obliki predstavlja popularne pesmi).

spiked math - Novejši matematični strip s preprosto grafiko, krogcem za glavo in trikotnikom za telo, ter zaželjenim poglobljenim poznavanjem višje matematike (vsaj tu pa tam).

(x,why?) - Ni ena bolj estetskih serij, a stripov je veliko in vsebina je kul. Vsebuje tako stripe z ljudmi kot tiste z govorečimi števili in izrazi.

Brown Sharpie – Matematični stripi, navdahnjeni s hlapi flomastrov, ki bodo mogoče še občasno razveselil bralca z novimi pogruntavščinami. Dokaz, da lahko iz risarskih presežkov, ki nastanejo med predavanji, kaj narediš.

twisted pencil – Avtor namesto razširjenih človečkov iz krogca in parih črt uporablja lutke, da izpelje svojo matematično idejo. Je malce drugače, imaš pa občutek, da je avtor kakšen strip narisal na nekakšen preluknjan papir.

smbc (Saturday Morning Breakfast Cereal) - Strip ne namenja glavne pozornosti znanosti, je pa ta tematika dovolj pogosta, da se je znašel na tem seznamu (avtor se je namreč odločil, da bi rad doštudiral fiziko in tako lahko s temi stripi zasledujemo, do katerega letnika je že prilezel ). Stripi so večinoma le v enem okenčku, a pozor, marsikateri zna biti za koga žaljiv, zato priporočam dobršnjo mero previdnosti.

mathTICs – Seznam raznoraznih matematičnih stripov (a žal stran ne vsebuje vseh)

Na koncu dodajam še nekaj drugih stripov, ki so bolj nagnjeni k igričarstvu, računalništvu oziroma geeky stvarem nasploh: geek and poke, Monty, Order of the Stick, User Friendly, Penny-Arcade, Ctrl+Alt+Del (Sillies), Joy of Tech, PC Weenies, Irregular Webcomic …

Če poznate še kakšen webcomic, ki bi ga radi delili z nami, le napišite pod komentarje. Veseli jih bomo.

Ana

Bookmark It

Hide Sites

Poklicno se je ukvarjal predvsem s tenzorsko analizo in leta 1900 objavil delo “Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications”, iz katerega je znanje črpal Albert Einstein pri matematični formulaciji svoje splošne teorije relativnosti. S kolegom Albertom sta sodelovala tudi kasneje pri razvoju teorije gravitacije, s svojim delom pa je prispeval tudi k Diracovim enačbam v kvantni mehaniki.

Fizikom je Levi-Civita znan predvsem po svojem simbolu ε. Dejansko je to tenzor tretjega ranga, v katerem nastopajo na prebrisan način razporejene vrednosti -1, 0 in 1. Poleg tega, da je tenzor izjemno uporaben, skriva še eno zanimivo lastnost. Če ga narišemo v trodimezionalni reprezentaciji in s črtami v dva trikotnika povežemo vrednosti 1 ter -1, opazimo zanimiv vzorec, ki silno spominja na Davidovo zvezdo, znan judovski simbol. Ni jasno, ali se je zvezda tam znašla namenoma ali po naključju, vsekakor pa nič ne pokvari uporabe Levi-Civitejevega tenzorja, marveč jo naredi celo bolj privlačno in vznemirljivo.

Ambrož

Bookmark It

Hide Sites

Ekipe na delu

Na začetku je bil palični mešalnik Bosch ...

Izdelava pogonskega mehanizma

Tudi Ambrož je pomagal pri delu

Mehanizem postaja vse večji in grši

Čakanje na predstavitev naprave ...

Naprava v akciji

Naš stroj, Made in Slovenija

Za konec smo pa še zmagali in dobili pokal. Itak.

Več fotografij najdete na

http://picasaweb.google.com/blaz.frlic/Macgyver20#

in

http://picasaweb.google.si/mate.stare/Macgyver20#

Ambrož

Bookmark It

Hide Sites