FMF Revija

Ko sem se pred kratkim sprehajal po rivieri Malega Lošinja v sklopu svojega poletnega dopusta, mi je v oko padla zanimiva atrakcija za otroke: Nekakšen hibrid med trampolinom in milejšo verzijo bungeeja. Stvar se mi je zdela zabavna, odšel sem do upravljalca in ga vprašal, kakšne so možnosti, da skakajoči zadene enega od stranskih drogov. “Pa jako težko. Osim ako skačeš ko majmun uvijek u jednu stranu.” Mojemu dekletu je bil izraz smešen in tako sva tvor krstila “majmun”.

Seveda me je kot vsakega pravega fizika – ki je užival v analitični mehaniki – mikalo raziskati fazni prostor majmuna. S kozarcem Vranca v roki sem se punci širokoustil, da je problem dokaj enostaven in  bom gibalne enačbe rešil še naslednji dan, kar na papirju in brez kakršnihkoli numeričnih pripomočkov. Kako sem se uštel! Na začetku sem imel grozne probleme že z izbiro koordinatnega sistema. V kartezičnem sistemu je bil izraz za kinetično energijo preprost, medtem ko je bil zapis potencialov obupno zamotan. Ponižan po tem udarcu sem problem omejil samo na dve dimenziji, zanemaril trampolin in iskal pot prek dobre izbire generaliziranih koordinat. Na koncu sem se domislil spodnje skice:

Z zeleno so označene znane količine, torej, konstante, ki jih predhodno izberemo, z rdečo pa spremenljivke. Položaj mase “m” lahko ob vsakem trenutku povem s polarno notacijo – torej dolžino prve vzmeti “l” in kotom, ki ga vzmet oklepa s pokončnim nosilcem “φ”. Za obe vzmeti sem vzel isti koeficient raztezka “k”, “l₀” pa je dolžina vzmeti v neraztegnjenem stanju in je enaka polovičnem razmaku med nosilcema. Količina “h”, torej dolžina druge vzmeti je enolično določena s kosinusnim izrekom. Po izvedbi Euler-Lagrangejevih enačb za obe koordinati dobimo sklopljeni diferencialni enačbi:

Začetna predpostavka o lahki in analitični rešitvi očitno ni bila pravilna. S pomočjo Mathematice, ki seveda prav tako ni našla analitične rešitve, sem na koncu numerično rešil sistem in dobil nekaj lepih in zanimivih faznih portretov. Da pa se prepričamo o pravilnosti rešitve,  si poglejmo namišljen primer, kjer “izklopimo” gravitacijsko polje. Nosilca vzmeti sta 10 metrov narazen, maso 70 kg na začetku obesimo pod simetralo nosilcev, tako, da je kot φ = 40 stopinj = 0.69 radianov. Koeficient vzmeti je 100 N/m. Dobimo sledeč fazni portret:

ki se s časom seveda ne spreminja, saj masa niha naravnost “gor in dol” brez kakršnegakoli upora in popolnoma simetrično – kot je tudi pričakovati . (Spodnji portret prikazuje isto stvar, le da so enote logaritmirane (oprostite mi – očitno je v Mathematici nemogoče nastavit logaritemski ParametricPlot. Vnaprej bodo vse slike narisane na tak način zaradi estetskih razlogov)). Nihanje pri teh pogojih je tudi analitično rešljivo (integrabilno).

Zdaj, ko smo se prepričali, da so rešitve fizikalno smiselne, si poglejmo nekaj faznih portretov gibanja pri navedenih začetnih pogojih:

m=70, k=1000, g=9.81, d=10,

l(0)=7.77, l’(0)=0, Φ(0)=0.59, Φ’(0)=0. (t=30)

m=70, k=1000, g=9.81, d=10,

l(0)=7.77, l’(0)=10, Φ(0)=0.59, Φ’(0)=0. (t=30)

m=70, k=1000, g=9.81, d=10,

l(0)=7.77, l’(0)=10, Φ(0)=0.59, Φ’(0)=2. (t=30)

m=5, k=100, g=9.81, d=5,

l(0)=7, l’(0)=3, Φ(0)=0.49, Φ’(0)=1. (t=30)

m=70, k=100, g=9.81, d=10,

l(0)=5, l’(0)=5, Φ(0)=0.69, Φ’(0)=5. (t=40)

m=10, k=1000, g=9.81, d=10,

l(0)=7.7, l’(0)=0, Φ(0)=1, Φ’(0)=0. (t=40)

m=10, k=1000, g=2, d=10,

l(0)=8, l’(0)=1, Φ(0)=1, Φ’(0)=3. (t=40)

…Pa še bi lahko našteval. Začetnih pogojev in parametrov je takorekoč neskončno. Še en dokaz, kako povsem preproste stvari lahko manifestirajo nesluteno matematično lepoto.

Bookmark It

Hide Sites